题目内容
设F1、F2分别是椭圆E：
＋
＝1(a>b>0)的左、右焦点，M、N分别为其短轴的两个端点，且四边形MF1NF2的周长为4，设过F1的直线l与E相交于A、B两点，且|AB|＝
.
(1)求|AF2|·|BF2|的最大值；
(2)若直线l的倾斜角为45°，求△ABF2的面积．
解：(1)因为四边形MF1NF2为菱形，又其周长为4，故a＝1
由椭圆定义知|AF2|＋|AB|＋|BF2|＝4a＝4，又因为|AB|＝，
所以|AF2|＋|BF2|＝
，
所以|AF2|·|BF2|≤
＝
当且仅当|AF2|＝|BF2|＝时，等号成立．
(此时AB⊥x轴，故可得A点坐标为
，代入椭圆E的方程x2＋＝1得b＝
<1，即当且仅当b＝时，|AF2|＝|BF2|＝)
所以|AF2|·|BF2|的最大值为.
(2)因为直线l的倾斜角为45°，所以可设l的方程为y＝x＋c，其中c＝ 
由(1)知椭圆E的方程为x2＋＝1
所以，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A、B两点坐标满足方程组
化简得(1＋b2)x2＋2cx＋1－2b2＝0
则x1＋x2＝
，x1x2＝
因为直线l的斜率为1，所以|AB|＝
|x1－x2|
即＝
|x1－x2|，所以
＝(x1＋x2)2－4x1x2
＝
，得b2＝
，b＝
所以c＝，l的方程为：y＝x＋
F2到l的距离d＝1.
所以S△ABC＝|AB|×1＝××1＝
.
练习册系列答案
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|PN|.试建立平面直角坐标系，并求动点P的轨迹方程．
在椭圆C上，则椭圆C的标准方程为________．
或
B.
或2 D.
＝1的左、右焦点，A是双曲线上在第一象限内的点，若|AF2|＝2且∠F1AF2＝45°.延长AF2交双曲线右支于点B，则△F1AB的面积等于________．
；若拋物线C：y2＝2px(p>0)上的点到直线l1和直线l2的距离之和的最小值为2.
,a4=4,则公比q= ;a1+a2+…+an= .