Question

13．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的一个焦点为F₁（-$\sqrt{3}$，0），且过点E（$\sqrt{3}$，$\frac{1}{2}$），设椭圆C的上下顶点分别为A₁，A₂，点P是椭圆上异于A₁，A₂的任一点，直线PA₁，PA₂分别交x轴于点M，N．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若直线PA₁的斜率与直线PA₂的斜率之和为1，求点M的坐标；
（3）求OM•ON的值．

Answer 1

分析 （1）由题意可得c，即a²-b²=3，将已知点代入椭圆方程，解方程，即可得到所求椭圆方程；
（2）A₁（0，1），A₂（0，-1），P（m，n），即有$\frac{{m}^{2}}{4}$+n²=1，运用直线的斜率公式，解方程可得m，n，再由三点共线的条件：斜率相等，即可得到M的坐标；
（3）设出M，N的坐标，运用三点共线的条件：斜率相等，结合P在椭圆上，满足椭圆方程，化简整理，即可得到所求值．

解答 解：（1）由题意可得c=$\sqrt{3}$，即a²-b²=3，
过点E（$\sqrt{3}$，$\frac{1}{2}$），可得$\frac{3}{{a}^{2}}$+$\frac{1}{4{b}^{2}}$=1，
解得a=2，b=1，
即有椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1；
（2）A₁（0，1），A₂（0，-1），P（m，n），
即有$\frac{{m}^{2}}{4}$+n²=1，
${k}_{P{A}_{1}}$=$\frac{n-1}{m}$，${k}_{P{A}_{2}}$=$\frac{n+1}{m}$，
由题意可得$\frac{n-1}{m}$+$\frac{n+1}{m}$=1，即为m=2n，
解方程可得m=$\sqrt{2}$，n=$\frac{\sqrt{2}}{2}$或m=-$\sqrt{2}$，n=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
设M（t，0），由P，A₁，M三点共线，
可得$\frac{n-1}{m}$=$\frac{-1}{t}$，解得t=$\frac{m}{1-n}$，
即有t=2±2$\sqrt{2}$，
即有M（，2-2$\sqrt{2}$，0）或（2+2$\sqrt{2}$，0）；
（3）由（2）可得A₁（0，1），A₂（0，-1），P（m，n），
即有$\frac{{m}^{2}}{4}$+n²=1，即为1-n²=$\frac{{m}^{2}}{4}$，
设M（t，0），由P，A₁，M三点共线，可得
$\frac{n-1}{m}$=$\frac{-1}{t}$，解得t=$\frac{m}{1-n}$；
设N（s，0），由P，A₂，N三点共线，可得
$\frac{n+1}{m}$=$\frac{1}{s}$，解得s=$\frac{m}{1+n}$，
即有OM•ON=|$\frac{{m}^{2}}{1-{n}^{2}}$|=4．

点评 本题考查椭圆的方程的求法，注意运用点满足椭圆方程，考查直线的斜率的公式的运用，同时考查三点共线的条件：斜率相等，以及化简整理的能力，属于中档题．