Question

8．椭圆M：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），A为长轴的一个顶点，B为短轴的一个顶点，F为右焦点，且AB⊥BF，则椭圆M的离心率e为$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$．

Answer 1

分析 由已知得AB²+BF²=AF²，从而a²+b²+a²=（a+c）²，由此能求出椭圆M的离心率e．

解答 解：如图，∵椭圆M：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），
A为长轴的一个顶点，B为短轴的一个顶点，
F为右焦点，且AB⊥BF，
∴AB²+BF²=AF²，
∴a²+b²+a²=（a+c）²，
把b²=a²-c²，e=$\frac{c}{a}$代入整理，得：
e²+e-1=0，
解得e=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$或e=$\frac{-1-\sqrt{5}}{2}$（舍），
故答案为：$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$．

点评 本题考查椭圆的离心率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆性质的合理运用．