Question

9．求函数y=2sin²x+2cosx-3的最小值、最大值，并写出取最小值、最大值时自变量x的集合．

Answer 1

分析 将函数进行降次化简，利用二次函数性质，结合三角函数的图象和性质即可解决．

解答 解：y=2sin²x+2cosx-3
?y=2（1-cos²x）+2cosx-3
?y=$-2{（cosx-\frac{1}{2}）^2}-\frac{1}{2}$，
∵-1≤cosx≤1，
∴当$cosx=\frac{1}{2}$时，y取得最大值，即${y_{max}}=-\frac{1}{2}$，
此时自变量x的集合为{x|$x=±\frac{π}{3}+2kπ$，k∈Z}；
当cosx=-1时，y取得最大值，即y_min=-5，
此时自变量x的集合为{x|x=2kπ，k∈Z}．

点评 本题考查了三角函数的降次化简，构造二次函数，利用二次函数性质与三角函数的性质相结合的运用．属于中档题．