Question

19．已知点P是椭圆$\frac{{x}^{2}}{3}$+y²=1上的动点，M，N是直线l：y=x上的两个动点，则满足|MN|=t，则
①存在实数t使得△MNP为正三角的点P仅有一个
②存在实数t使得△MNP为正三角的点P仅有两个
③存在实数t使得△MNP为正三角的点P仅有三个
④存在实数t使得△MNP为正三角的点P仅有四个
⑤存在实数t使得△MNP为正三角的点P有无数个
上述命题中正确命题有（　　）

• A． ②④
• B． ①③
• C． ②③④
• D． ①②③④⑤

Answer 1

分析 设与直线y=x平行的直线方程为：y=x+m，根据对称性不妨取m＞0．假设此两条直线的距离d=$\frac{m}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$t，可得m=$\frac{\sqrt{6}}{2}$t＞0，把直线方程y=x+m，代入椭圆方程可得：8x²+6$\sqrt{6}$tx+9t²-6=0，由△≥0，解出即可判断出结论．

解答 解：设与直线y=x平行的直线方程为：y=x+m，根据对称性不妨取m＞0．
假设此两条直线的距离d=$\frac{m}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$t，可得m=$\frac{\sqrt{6}}{2}$t＞0，
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=x+\frac{\sqrt{6}}{2}t}\\{\frac{{x}^{2}}{3}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，化为：8x²+6$\sqrt{6}$tx+9t²-6=0，
由△=$（6\sqrt{6}t）^{2}$-32（9t²-6）≥0，
解得：0＜$t≤\frac{2\sqrt{6}}{3}$，
因此当0＜$t≤\frac{2\sqrt{6}}{3}$时，可知：椭圆上一定存在两个或四个点P满足：使得△MNP为正三角．
故只有②④正确．
故选：A．

点评 本题考查了同样的标准方程及其性质、相互平行的直线斜率之间的关系及其距离、不等式的解法、一元二次方程的解与判别式的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．