Question

【题目】已知抛物线的焦点为F，直线与抛物线C交于A，B两点，若，则.

（1）求抛物线C的方程；

（2）分别过点A，B作抛物线C的切线、，若，分别交x轴于点M，N，求四边形面积的最小值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）设，，则方程与抛物线方程联立，可得，根据抛物线的定义可得解得，可得抛物线C的方程为.

（2）根据，再换元得，利用导数得单调性，利用单调性可得最值.

（1）抛物线的焦点为，

设，，则方程与抛物线方程联立，

整理得，，，

若，根据抛物线的定义可得，

∴，即抛物线C的方程为.

（2）由（1）知且，，，，

所以切线的方程为即，①

同理切线的方程为，②

联立①②得，

即切线与的交点为，

由切线，得，同理可得，

∴

又∵，

点P到直线的距离为

∴，

∴四边形的面积

令，则，

时，成立，S单调递增，

∴当，即时，四边形的面积的最小值为