Question

【题目】如图所示七面体中，，平面，平面平面，四边形是边长为2的菱形，，，M，N分别为，的中点.

（1）求证：平面；

（2）求三棱锥的体积.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】

（1）先利用平面与平面平行的性质得出直线与直线平行，结合平行四边形及平行的传递性可得，进而可证平面；

（2）利用线面平行把三棱锥的体积转化为三棱锥的体积,结合三棱锥的体积公式可求结果.

（1）取的中点F，连接，.

因为平面平面，

平面平面，

平面平面，

所以，同理可得，，

，而，

所以四边形和为平行四边形.

又四边形是菱形，，

所以，而点F为的中点，

所以，

又，所以四边形为平行四边形，从而.

点M，N分别为，的中点，所，

，则四边形是平行四边形，得，

所以.

而平面，平面，所以平面.

（2）由（1）可知，平面，所以点M到平面的距离与点N到平面的距离相等，则三棱锥的体积

.

由，，得为正三角形，

而F为中点，所以，从而，且.

又平面，得，从而，，

所以平面，且.

所以，

即三棱锥的体积为.