Question

【题目】已知函数，.（为自然对数的底数）

（1）设；

①若函数在处的切线过点，求的值；

②当时，若函数在上没有零点，求的取值范围.

（2）设函数，且，求证：当时，.

Answer 1

【答案】(1) ， (2)见解析

【解析】试题分析：（1）①由和可得在处的切线方程，代入点得；

②当，可得，讨论和时函数的单调性进而研究零点即可；

（2）等价于，令，求得求最值即可证得.

试题解析：

（1）①由题意，得，

所以函数在处的切线斜率，又，

所以函数在处的切线方程，

将点代入，得．

②当，可得，因为，所以，

当时，，函数在上单调递增，而，

所以只需，解得，从而．

当时，由，解得，

当时，，单调递减；当时，，

单调递增．所以函数在上有最小值为，

令，解得，所以． 综上所述，．

（2）由题意，，

而等价于．

令，

则，且，．

令，则．

因为， 所以，所以导数在上单调递增，

于是．

从而函数在上单调递增，即．

即当时，．