Question

已知函数f（x）=

a

2

-

2x

2x+1

（a为常数）
（1）若y=f（x）为奇函数，求出a的值；
（2）在满足（1）的条件下，探索y=f（x）的单调性，并利用定义加以证明．

Answer 1

考点：奇偶性与单调性的综合

专题：函数的性质及应用

分析：根据奇函数的性质，利用f（0）=0，即可得到结论．

解答： 解：（1）函数f（x）的定义域R，
∵f（x）是R上的奇函数，
∴f（0）=0，
即f（0）=

a

2

-

1

1+1

=

a-1

2

=0，
解得a=1；
经验证a=1时函数f（x）为R上的奇函数．
（2）若f（x）为R上的奇函数，则a=1，即f（x）=

1

2

-

2x

2x+1

，
设x₁＜x₂，
则f（x₁）-f（x₂）=

1

2

-

2x1

2x1+1

-

1

2

+

2x2

2x2+2

=

2x2-2x1

(2x1+1)(2x2+1)

，
∵y=2^x是R上的增函数，
2x2-2x1＞0，
∴即f（x₁）-f（x₂）＞0
f（x₁）＞f（x₂），
∴函数y=f（x）在R上是减函数．

点评：本题主要考查函数单调性的判断和证明以及函数奇偶性的应用，利用定义法以及奇函数f（0）=0的性质是解决本题的关键．