题目内容
如图，椭圆C：
（a＞b＞0）的一个焦点为F（1，0），且过点（2，0）。
（a＞b＞0）的一个焦点为F（1，0），且过点（2，0）。
（1）求椭圆C的方程；
（2）若AB为垂直于x轴的动弦，直线l：x=4与x轴交于点N，直线AF与BN交于点M。
（i）求证：点M恒在椭圆C上；
（ii）求△AMN面积的最大值。
（2）若AB为垂直于x轴的动弦，直线l：x=4与x轴交于点N，直线AF与BN交于点M。
（i）求证：点M恒在椭圆C上；
（ii）求△AMN面积的最大值。
解：（1）由题设a=2，c=1，从而b2=a2-c2=3，
所以椭圆C的方程为
；
（2）（i）由题意得F（1，0），N（4，0）
设A（m，n），则B（m，-n）（n≠0），
=1 ①
AF与BN的方程分别为：n（x-1）-（m-1）y=0，
n（x-4）-（m-4）y=0
设M（x0，y0），则有n（x0-1）-（m-1）y0=0，②
n（x0-4）+（m-4）y0=0，③
由②，③得
x0=
，
由于
=1
所以点M恒在椭圆G上。
（ii）设AM的方程为x=ty+1，代入
=1得（3t2+4）y2+6ty-9=0
设设A（x1，y1），M（x2，y2），则有
y1+y2=
，
|y1-y2|=
令3t2+4=λ（λ≥4），
则|y1-y2|=
∵λ≥4，
∴当
，即
时
|y1-y2|有最大值3，此时AM过点F
△AMN的面积S△AMN=
有最大值
。
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如图，椭圆C：
（a＞b＞0）的一个焦点是F（-
，0），离心率e=
，过点A（0，-2）且不与y轴重合的直线l与椭圆C相交于不同的两点P、Q
，a，b为常数），动圆
，b＜t1＜a．点A1，A2分别为C的左，右顶点，C1与C相交于A，B，C，D四点．
与C相交A′，B′，C′，D′四点，其中b＜t2＜a，t1≠t2．若矩形ABCD与矩形A′B′C′D′的面积相等，证明：
为定值．
（a＞b＞0）的一个焦点为F（1，0），且过点（2，0）．
（a＞b＞0）的一个焦点为F（1，0），且过点（2，0）．
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