题目内容

如图，椭圆C： $数学公式$ （a＞b＞0）的一个焦点是F（- $数学公式$ ，0），离心率e= $数学公式$ ，过点A（0，-2）且不与y轴重合的直线l与椭圆C相交于不同的两点P、Q
（1）求椭圆C的方程；
（2）若点F到直线l的距离为2，求直线l的方程；
（3）问在y轴上是否存在一个定点B，使得直线PB与椭圆C的另一个交点R是点Q关于y轴的对称点？若存在，求出定点B的坐标；若不存在，请说明理由．

解：（1）∵ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，
∴a=2，b=1，
∴椭圆方程为 $\text{[math]}$ ．
（2）设直线l的方程为y=kx-2，
由 $\text{[math]}$ ，
得（1+4k²）x²-16kx+12=0，①
∵△=（16k）²-48（1+4k²）＞0，得 $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ ．②
设p（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
则 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，
由已知得， $\text{[math]}$ ，解得k=0，或 $\text{[math]}$ ，
由②得， $\text{[math]}$ ，
∴直线l的方程是 $\text{[math]}$ ．
（3）假设y轴上存在定点B，使R与点Q关于y轴对称，则R（-x₂，y₂），
∴直线PR的方程为 $\text{[math]}$ ，
令x=0，则 $\text{[math]}$ +y₁
= $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$
=- $\text{[math]}$ ．
∴存在y轴上定点B $\text{[math]}$ ，
使得直线PB与椭圆C的另一个交点R是点Q关于y轴的对称点．
分析：（1）由 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，能求出椭圆方程．
（2）设直线l的方程为y=kx-2，由 $\text{[math]}$ ，得（1+4k²）x²-16kx+12=0，由△=（16k）²-48（1+4k²）＞0，得 $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ ．设p（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），则 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，由已知得 $\text{[math]}$ ，由此能求出直线l的方程．
（3）假设y轴上存在定点B，使R与点Q关于y轴对称，则R（-x₂，y₂），所以直线PR的方程为 $\text{[math]}$ ，令x=0，得y=- $\text{[math]}$ ，所以存在y轴上定点B $\text{[math]}$ ，使得直线PB与椭圆C的另一个交点R是点Q关于y轴的对称点．
点评：本题主要考查直线与直线、直线与椭圆的位置关系等基础知识；考查运算求解能力、推理论证能力以及公析与解决问题能力；考查数形结合思想、函数与方程思想、转化思想．