Question

如图，椭圆C：（a＞b＞0）的一个焦点为F（1，0），且过点（2，0）．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若AB为垂直于x轴的动弦，直线l：x=4与x轴交于点N，直线AF与BN交于点M．
（ⅰ）求证：点M恒在椭圆C上；
（ⅱ）求△AMN面积的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由题设a=2，c=1，从而b²=a²-c²=3，即可得椭圆C前方程．
（Ⅱ）（i）由题意得F（1，0），N（4，0）．设A（m，n），则B（m，-n）（n≠0），=1．
由题意知AF与BN的方程分别为：n（x-1）-（m-1）y=0，n（x-4）-（m-4）y=0．由此入手能够推出点M恒在椭圆G上．
（ⅱ）设AM的方程为x=ty+1，代入=1得（3t²+4）y²+6ty-9=0．设A（x₁，y₁），M（x₂，y₂），利用根与系数的关系能够求出△AMN面积的最大值．
解答：解：
（Ⅰ）由题设a=2，c=1，从而b²=a²-c²=3，
所以椭圆C前方程为．
（Ⅱ）（i）由题意得F（1，0），N（4，0）．
设A（m，n），则B（m，-n）（n≠0），=1．①
AF与BN的方程分别为：n（x-1）-（m-1）y=0，
n（x-4）-（m-4）y=0．
设M（x，y），则有n（x-1）-（m-1）y=0，②
n（x-4）+（m-4）y=0，③
由②，③得
x=

=
=
=
=1
所以点M恒在椭圆G上．
（ⅱ）设AM的方程为x=ty+1，
代入=1，得（3t²+4）y²+6ty-9=0．
设A（x₁，y₁），M（x₂，y₂），则有.=，令3t²+4=λ（λ≥4），则|y₁-y₂|==，
∵λ≥4，，∴当，即λ=4，t=0时，|y₁-y₂|有最大值3，此时AM过点F，△AMN的面积有最大值．
点评：本题主要考查直线与椭圆的位置关系、轨迹方程、不等式等基本知识，考查运算能力和综合解题能力．