Question

如图，椭圆C：（a＞b＞0）的一个焦点为F（1，0），且过点（2，0）．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若AB为垂直于x轴的动弦，直线l：x=4与x轴交于点N，直线AF与BN交于点M．
   （ⅰ）求证：点M恒在椭圆C上；
   （ⅱ）求△AMN面积的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（I）根据题意，可得a=2且c=1，利用平方关系算出b²=3，因此可求出椭圆C的方程；
（II）（ⅰ）根据题意，得F（1，0），N（4，0）．设A（m，n），则B（m，-n），可得AF、BN以m、n为参数的方程，联解得出M（，），再M坐标代入椭圆方程加以验证，即可得到点M恒在椭圆C上；
（ii）设AM的方程为x=ty+1，与椭圆方程消去x得（3t²+4）y²+6ty-9=0．设A（x₁，y₁），M（x₂，y₂），由韦达定理将y₁+y₂、y₁y₂表示为关于t的式子，从而可得|y₁-y₂|=，然后换元：令3t²+4=λ （λ≥4），可得|y₁-y₂=4•，根据二次函数的性质算出当=时即t=0时，|y₁-y₂|取得最大值3，由此可得△AMN面积的最大值为．
解答：解：（I）由题意得a=2且c=1
∴为
（II）（ⅰ）根据题意，得F（1，0），N（4，0）
设A（m，n），则B（m，-n） （n≠0）
可得
∵AF、BN方程分别为m（x-1）-（m-1）y=0
和m（x-4）-（m-4）y=0
∴M（x，y）满足，
联解得x=，y=
由于====1
所以点M恒在椭圆C上；
（ii）设AM的方程为x=ty+1，与消去x得（3t²+4）y²+6ty-9=0
设A（x₁，y₁），M（x₂，y₂），可得y₁+y₂=，y₁y₂=
∴|y₁-y₂|²=（y₁+y₂）²-4y₁y₂=（）²+=
可得|y₁-y₂|==
令3t²+4=λ （λ≥4），可得|y₁-y₂|=•=4•
∵λ≥4，可得∈（0，]，
∴当=时，即t=0时，|y₁-y₂|取得最大值3，此时AM经过点F
∵△AMN面积S=|FN|•|y₁-y₂|=|y₁-y₂|
∴当t=0时，即直线AB与x轴垂直时，△AMN面积的最大值为．
点评：本题给出椭圆满足的条件，求椭圆的方程，并求证直线经过定点、求△AMN面积的最大值．着重考查了椭圆的标准方程与简单几何性质、直线与圆锥曲线位置关系等知识，属于中档题．