题目内容
如图，椭圆C：
，a，b为常数），动圆
，b＜t1＜a．点A1，A2分别为C的左，右顶点，C1与C相交于A，B，C，D四点．（Ⅰ）求直线AA1与直线A2B交点M的轨迹方程；
（Ⅱ）设动圆
与C相交A′，B′，C′，D′四点，其中b＜t2＜a，t1≠t2．若矩形ABCD与矩形A′B′C′D′的面积相等，证明：
为定值．
【答案】分析：（I）设出线A1A的方程、直线A2B的方程，求得交点满足的方程，利用A在椭圆C上，化简即可得到M轭轨迹方程；
（II）根据矩形ABCD与矩形A'B'C'D'的面积相等，可得A，A′坐标之间的关系，利用A，A′均在椭圆上，即可证得
=a2+b2为定值．
解答：（I）解：设A（x1，y1），B（x2，y2），则x2=x1，y2=-y1，
∵A1（-a，0），A2（a，0），则直线A1A的方程为y=
（x+a）①
直线A2B的方程为y=
（x-a）②
由①×②可得：y2=
（x2-a2）③
∵A（x1，y1）在椭圆C上，
∴
∴y12=b2（1-
）
代入③可得：y2=
（x2-a2）
∴
（x＜-a，y＜0）；
（II）证明：设A′（x3，y3），
∵矩形ABCD与矩形A'B'C'D'的面积相等
∴4|x1||y1|=4|x3||y3|
∴x12y12=x32y32
∵A，A′均在椭圆上，
∴b2x12（1-
）=b2x32（1-
）
∴x12-
=x32-
∴a2（x12-x32）=x14-x34
∵t1≠t2，∴x1≠x3．
∴x12+x32=a2
∵y12=b2（1-
），y32=b2（1-
）
∴y12+y32=b2
∴
=a2+b2为定值．
点评：本题考查轨迹方程，考查定值问题的证明，解题的关键是设出直线方程，求出交点的坐标，属于中档题．
（II）根据矩形ABCD与矩形A'B'C'D'的面积相等，可得A，A′坐标之间的关系，利用A，A′均在椭圆上，即可证得
=a2+b2为定值．解答：（I）解：设A（x1，y1），B（x2，y2），则x2=x1，y2=-y1，
∵A1（-a，0），A2（a，0），则直线A1A的方程为y=
（x+a）①直线A2B的方程为y=
（x-a）②由①×②可得：y2=
（x2-a2）③∵A（x1，y1）在椭圆C上，
∴
∴y12=b2（1-
）代入③可得：y2=
（x2-a2）∴
（x＜-a，y＜0）；（II）证明：设A′（x3，y3），
∵矩形ABCD与矩形A'B'C'D'的面积相等
∴4|x1||y1|=4|x3||y3|
∴x12y12=x32y32
∵A，A′均在椭圆上，
∴b2x12（1-
）=b2x32（1-）∴x12-
=x32-∴a2（x12-x32）=x14-x34
∵t1≠t2，∴x1≠x3．
∴x12+x32=a2
∵y12=b2（1-
），y32=b2（1-）∴y12+y32=b2
∴
=a2+b2为定值．点评：本题考查轨迹方程，考查定值问题的证明，解题的关键是设出直线方程，求出交点的坐标，属于中档题．
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如图，椭圆C：
（a＞b＞0）的一个焦点是F（-
，0），离心率e=
，过点A（0，-2）且不与y轴重合的直线l与椭圆C相交于不同的两点P、Q
（a＞b＞0）的一个焦点为F（1，0），且过点（2，0）．
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