题目内容
9．已知平面直角坐标系xoy内两个定点A（1，0）、B（4，0），满足PB=2PA的点P（x，y）形成的曲线记为Γ．（1）求曲线Γ的方程；
（2）过点B的直线l与曲线Γ相交于C、D两点，当△COD的面积最大时，求直线l的方程（O为坐标原点）；
（3）设曲线Γ分别交x、y轴的正半轴于M、N两点，点Q是曲线Γ位于第三象限内一段上的任意一点，连结QN交x轴于点E、连结QM交y轴于F．求证四边形MNEF的面积为定值．
分析 （1）由两个定点A（1，0）、B（4，0），满足PB=2PA的点P（x，y），得到关系式化简即可得出曲线Γ的方程；
（2）表示出面积，利用基本不等式得出结论；
（3）设${S_{MNEF}}={S_{△MNE}}+{S_{△MEF}}=\frac{1}{2}ME•NF$，即可证明结论．
解答 解：（1）由题设知$2\sqrt{{{（x-1）}^2}+{y^2}}=\sqrt{{{（x-4）}^2}+{y^2}}$，两边化简得x2+y2=4
∴点P的轨迹Γ的方程为x2+y2=4…（3分）
（2）由题意知$OS=\sqrt{S{D^2}-O{D^2}}=\sqrt{3}$的斜率一定存在，设l：y=k（x-4）即kx-y-4k=0，
∵原点到直线l的距离$d=\frac{{|{4k}|}}{{\sqrt{1+{k^2}}}}，CD=2\sqrt{4-{d^2}}$，…（5分）
∴${S_{△COD}}=\frac{1}{2}CD•d=\sqrt{{d^2}•（4-{d^2}）}≤\sqrt{{{（\frac{{{d^2}+（4-{d^2}）}}{2}）}^2}}=2$，…（7分）
当且仅当d2=2时，取得“=”d2=2＜r2=4
∴当d2=2时，此时，$\frac{{16{k^2}}}{{{k^2}+1}}=2⇒{k^2}=\frac{1}{7}⇒k=±\frac{{\sqrt{7}}}{7}$．
∴直线l的方程为$y=±\frac{{\sqrt{7}}}{7}（x-4）$．…（9分）
（3）设${S_{MNEF}}={S_{△MNE}}+{S_{△MEF}}=\frac{1}{2}ME•NF$…（11分）
设Q（x0，y0），E（e，0），F（0，f）（其中${x_0}＜0，{y_0}＜0，{x_0}^2+{y_0}^2=4$）
则$QM：y=\frac{y_0}{{{x_0}-2}}（x-2）$，令x=0得$f=\frac{{-2{y_0}}}{{{x_0}-2}}$
∴$NF=2-\frac{{-2{y_0}}}{{{x_0}-2}}=\frac{{2（{x_0}+{y_0}）-4}}{{{x_0}-2}}$…（12分）$QN：y=\frac{{{y_0}-2}}{x_0}x+2$，令y=0得$e=\frac{{2{x_0}}}{{2-{y_0}}}$
∴$ME=2-\frac{{2{x_0}}}{{2-{y_0}}}=\frac{{4-2（{x_0}+{y_0}）}}{{2-{y_0}}}$…（13分）
∴${S_{MNEF}}=\frac{1}{2}ME•NF=\frac{1}{2}•\frac{{2（{x_0}+{y_0}）-4}}{{{x_0}-2}}•\frac{{2（{x_0}+{y_0}）-4}}{{{y_0}-2}}=2•\frac{{{{（{x_0}+{y_0}-2）}^2}}}{{（{x_0}-2）（{y_0}-2）}}$=$2•\frac{{{{（{x_0}+{y_0}-2）}^2}}}{{（{x_0}-2）（{y_0}-2）}}=2•\frac{{8-4（{x_0}+{y_0}）+2{x_0}{y_0}}}{{4-2（{x_0}+{y_0}）+{x_0}{y_0}}}=4$（定值）…（16分）
点评 本题考查轨迹方程，考查面积的计算，考查基本不等式的运用，属于中档题．
阅读快车系列答案| A． | 2 | B． | $\frac{\sqrt{5}}{2}$ | C． | $\sqrt{3}$ | D． | $\sqrt{2}$ |
| A． | 0个 | B． | 1个 | C． | 2个 | D． | 3个 |
| A． | 综合法是由因导果的顺推证法 | |
| B． | 分析法是执果索因的逆推证法 | |
| C． | 分析法是从要证的结论出发，寻求使它成立的充分条件 | |
| D． | 综合法与分析法在同一题的证明中不可能同时采用 |