Question

19．已知函数f（x）=$\frac{6}{x}$，g（x）=x²+1，
（1）求f[g（x）]的解析式；
（2）关于x的不等式f[g（x）]≥k-7x²的解集为一切实数，求实数k的取值范围；
（3）关于x的不等式f[g（x）]＞$\frac{a}{x}$的解集中的正整数解恰有3个，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据函数的解析式，化简f[g（x）]即可；
（2）由（1）化简f[g（x）]≥k-7x²，并分离出k变形后，利用换元法、构造法求出函数的最值，即可求出实数k的取值范围；
（3）由（1）化简f[g（x）]＞$\frac{a}{x}$，结合条件将不等式化为$\frac{1}{a}＞\frac{1}{6}（x+\frac{1}{x}）$，利用函数$y=x+\frac{1}{x}$的性质和条件，列出不等式求出实数a的取值范围．

解答 解：（1）∵函数f（x）=$\frac{6}{x}$，g（x）=x²+1，
∴f[g（x）]=f（x²+1）=$\frac{6}{{x}^{2}+1}$；
（2）由（1）得，f[g（x）]≥k-7x²为：$\frac{6}{{x}^{2}+1}$≥k-7x²，
即k≤$\frac{6}{{x}^{2}+1}$+7x²=$\frac{6}{{x}^{2}+1}$+7（x²+1 ）-7解集为一切实数，
设t=x²+1，则t≥1，设y=$\frac{6}{t}+7t-7$，
∴函数y=$\frac{6}{t}+7t-7$在[1，+∞）上单调递增，
∴函数y=$\frac{6}{t}+7t-7$在[1，+∞）上的最小值是6，则k≤6，
即实数k的取值范围是（-∞，6]；
（3）由（1）得，f[g（x）]＞$\frac{a}{x}$为$\frac{6}{{x}^{2}+1}＞\frac{a}{x}$，
∵不等式f[g（x）]＞$\frac{a}{x}$的解集中的正整数解恰有3个，
∴x＞0时，有a＜$\frac{6x}{{x}^{2}+1}$，即$\frac{1}{a}＞\frac{1}{6}（x+\frac{1}{x}）$，
设不等式$\frac{1}{a}＞\frac{1}{6}（x+\frac{1}{x}）$的解集（x₁，x₂），
由函数$y=x+\frac{1}{x}$的性质和条件得：
其中x₁∈（0，1），x₂∈（3，4]，
∴$\frac{1}{6}（3+\frac{1}{3}）＜\frac{1}{a}≤\frac{1}{6}（4+\frac{1}{4}）$，
解得$\frac{24}{17}≤a＜\frac{9}{5}$，
∴实数a的取值范围是$[\frac{24}{17}，\frac{9}{5}）$．

点评 本题考查了函数解析式的求法，不等式恒成立问题的转化，以及构造法求出最值问题，考查转化思想和函数思想，分离常数法，化简、变形能力，属于中档题．