Question

3．已知函数f（x）=$\frac{1}{3}$x³-$\frac{1}{2}$x²+bx+c
（1）若f（x）在（-∞，+∞）上是增函数，求b的取值范围
（2）若f（x）在x=1处取得极值，且x∈[-1，2]时，f（x）＜c²恒成立，求c的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，问题转化为b≥（x-x²）_max，求出b的范围即可；
（2）求出b的值，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数在[-1，2]的最大值，解关于c的不等式即可．

解答 解：（1）∵f（x）在（-∞，+∞）上是增函数，
∴f′（x）=x²-x+b≥0在R恒成立，
∴b≥（x-x²）_max，x∈R，
而x∈R时，x-x²≤$\frac{1}{4}$，
∴b≥$\frac{1}{4}$；
（2）∵f（x）在x=1处取得极值，
∴f′（1）=1-1+b=0，解得：b=0，
∴f′（x）=x²-x，
令f′（x）＞0，解得：x＞1或x＜0，
令f′（x）＜0，解得：0＜x＜1，
故f（x）在[-1，0）递增，在（0，1）递减，在（1，2]递增，
故x=0时，f（x）_极大值=c，
x=2时，f（x）=c+$\frac{2}{3}$，
∴x∈[-1，2]时，f（x）_max=f（2）=c+$\frac{2}{3}$，
x∈[-1，2]时，f（x）＜c²，
∴c²＞f（x）_max=c+$\frac{2}{3}$，
解得：c＞$\frac{3+\sqrt{33}}{6}$或c＜$\frac{3-\sqrt{33}}{6}$．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，是一道中档题．