Question

19．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知tanA=$\frac{2sinC}{1-2cosC}$，b=1．
（1）求a的值（2）若c=$\sqrt{7}$，求△ABC外接圆的面积．

Answer 1

分析 （1）由同角的三角函数的关系和两角和的正弦公式可得sinA=2sinB，再由正弦定理可得a=2b，问题得以解决；
（2）先由余弦定理求出cosC，再求出C的值，再由正弦定理求出外接圆的半径，问题得以解决．

解答 解：（1）由已知得$\frac{sinA}{cosA}$=$\frac{2sinC}{1-2cosC}$，
即sinA（1-2cosC）=2cosAsinC，
∴sinA=2sinAcosC+2cosAsinC=2sin（A+C），
∵A+C=π-B，
∴sinA=2sinB，
由正弦定理得a=2b，
∵b=1，
∴a=2；
（2）由余弦定理得c²=a²+b²+-2abcosC，
∴（$\sqrt{7}$）²=1²+2²-2×1×2×cosC，
即cosC=-$\frac{1}{2}$，
∵0＜C＜π，
∴C=$\frac{2π}{3}$，
设△ABC外接圆的半径为R，则2R=$\frac{c}{sinC}$=$\frac{\sqrt{7}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$，
解得R=$\frac{\sqrt{21}}{3}$，
∴△ABC外接圆的面积πR²=$\frac{7π}{3}$．

点评 本题考查了正弦定理和余弦定理以及三角函数的化简，属于中档题．