Question

已知数列{a_n}中，a₁=2，a_n+1=a_n²+a_n-

1

4

（n∈N^*）
（1）证明：数列{lg（a_n+

1

2

）是等比数列，并求数列{a_n}的通项公式；
（2）记数列{b_n}满足b_n=lg（a_n+

1

2

），求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

考点：数列的求和,等比数列的通项公式,等比关系的确定

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）把已知的递推式变形，得到an+1+

1

2

=(an+

1

2

)2，两边取对数后得数列{lg（a_n+

1

2

）}是等比数列，求其通项公式后可得数列{a_n}的通项公式；
（2）直接利用等比数列的前n项和公式得答案．

解答： 证明：（1）由a_n+1=a_n²+a_n-

1

4

，得an+1+

1

2

=(an+

1

2

)2，
∴lg(an+1+

1

2

)=lg(an+

1

2

)2=2lg(an+

1

2

)，
∴

lg(an+1+ 1 2 )

lg(an+ 1 2 )

=2．
则数列{lg（a_n+

1

2

）}是以lg(a1+

1

2

)=lg

5

2

为首项，以2为公比的等比数列，
∴lg(an+

1

2

)=(lg

5

2

)•2n-1，即an+

1

2

=(

5

2

)2n-1，
∴an=(

5

2

)2n-1-

1

2

；
（2）∵数列{lg（a_n+

1

2

）}是以lg(a1+

1

2

)=lg

5

2

为首项，以2为公比的等比数列，
∴Sn=n•lg

5

2

+

2n(n-1)

2

=lg(

5

2

)n+n2-n．

点评：本题考查了等比关系的确定，考查了等比数列的通项公式与等比数列的前n项和，是中档题．