Question

10．若函数$f（x）=\left\{{\begin{array}{l}{（2a-1）x+a}&{（x≤1）}\\{{{log}_a}x}&{（x＞1）}\end{array}}\right.$是R上的减函数，则实数a的取值范围是[$\frac{1}{3}，\frac{1}{2}$）．

Answer 1

分析 若函数$f（x）=\left\{{\begin{array}{l}{（2a-1）x+a}&{（x≤1）}\\{{{log}_a}x}&{（x＞1）}\end{array}}\right.$是R上的减函数，则$\left\{\begin{array}{l}2a-1＜0\\ 0＜a＜1\\ 2a-1+a≥0\end{array}\right.$，解得实数a的取值范围．

解答 解：∵函数$f（x）=\left\{{\begin{array}{l}{（2a-1）x+a}&{（x≤1）}\\{{{log}_a}x}&{（x＞1）}\end{array}}\right.$是R上的减函数，
∴$\left\{\begin{array}{l}2a-1＜0\\ 0＜a＜1\\ 2a-1+a≥0\end{array}\right.$，
解得：a∈[$\frac{1}{3}，\frac{1}{2}$），
故答案为：[$\frac{1}{3}，\frac{1}{2}$）

点评 本题考查的知识点是分段函数的应用，正确理解分段函数的单调性，是解答的关键．