Question

【题目】已知，直线经过定点，直线经过定点，且与相交于点，这两条直线与两坐标轴围成的四边形面积为.

（1）证明：，并求定点、的坐标；

（2）求三角形面积最大值，以及时的.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析，，；（2）三角形面积最大值为，.

【解析】

（1）先由得到，即可求出；再由得到，即可求出；根据两直线的斜率之积，即可判断直线垂直；

（2）先分别记点到直线的距离为、点到直线的距离为，由点到直线距离公式求出，，表示出，根据基本不等式求出最值，再由，结合极限的运算，即可得出结果.

（1）因为可化为，因此易知过点，即；

由可得：，因此直线过点；

又，直线的斜率为；直线的斜率为；所以，因此；

（2）分别记点到直线的距离为、点到直线的距离为，

则，，

由（1）可得：，

所以，

令，，，所以，；

当时，；当时，；

当时，则，

当且仅当，即，即时，等号成立，

又，，当时，；当时，；

综上三角形面积最大值为；

又两条直线与两坐标轴围成的四边形面积为

；

所以.