Question

【题目】已知数列满足是数列的前项的和.

（1）求数列的通项公式；

（2）若成等差数列，，18，成等比数列，求正整数的值；

（3）是否存在，使得为数列中的项？若存在，求出所有满足条件的的值；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）.（2）.（3）或14.

【解析】

试题（1）当时，，当时，由是首项为2，公差为1的等差数列.

（2）建立方程组，或.当，当无正整数解，综上.

（3）假设存在正整数，使得（舍去）或14.

试题解析：

（1）因为，

所以当时，，

当时，

由，

两式相除可得，，即

所以，数列是首项为2，公差为1的等差数列.

于是，.

（2）因为，30，成等差数列，，18，成等比数列，

所以，于是，或.

当时，，解得，

当时，，无正整数解，

所以.

（3）假设存在满足条件的正整数，使得，

则，

平方并化简得，，

则，

所以，或，或，

解得：，或（舍去），

综上所述，或14.