Question

5．在直角坐标标系xoy中，已知曲线${C_1}：\left\{{\begin{array}{l}{x=1+cosα}\\{y={{sin}^2}α-\frac{9}{4}}\end{array}}\right.$（α为参数，α∈R），在以原点O为极点，x轴非负半轴为极轴的极坐标系中（取相同的长度单位），曲线${C_2}：ρsin（θ+\frac{π}{4}）$=$-\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，曲线C₃：ρ=2cosθ．
（Ⅰ）求曲线C₁与C₂的交点M的直角坐标；
（Ⅱ）设A，B分别为曲线C₂，C₃上的动点，求|AB|的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出曲线C₁的普通方程和曲线C₂的直角坐标方程，联立方程组能求出曲线C₁与C₂的交点M的直角坐标．
（Ⅱ）曲线C₃是以C（1，0）为圆心，半径r=1的圆，求出圆心C₃到直线x+y+1=0的距离d，由此能求出|AB|的最小值．

解答 解：（Ⅰ）曲线${C_1}：\left\{{\begin{array}{l}{x=1+cosα}\\{y={{sin}^2}α-\frac{9}{4}}\end{array}}\right.$（α为参数，α∈R），消去参数α，
得：y=-$\frac{5}{4}$-（x-1）²，x∈[0，2]，①
∵曲线${C_2}：ρsin（θ+\frac{π}{4}）$=$-\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，∴ρcosθ+ρsinθ+1=0，
∴曲线C₂：x+y+1=0，②，
联立①②，消去y可得：4x²-12x+5=0，解得x=$\frac{1}{2}$或x=$\frac{5}{2}$（舍去），
∴M（$\frac{1}{2}，-\frac{3}{2}$）．…（5分）
（Ⅱ）曲线C₃：ρ=2cosθ，即ρ²=2ρcosθ，
∴曲线C₃：（x-1）²+y²=1，是以C₃（1，0）为圆心，半径r=1的圆
圆心C₃到直线x+y+1=0的距离为d=$\sqrt{2}$，
∴|AB|的最小值为$\sqrt{2}-1$．…（10分）

点评 本题考查曲线的交点的直角坐标的求法，考查线段的最小值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意点到直线的距离公式的合理运用．