Question

如图，设P是圆O：x²+y²=2上的点，过P作直线l垂直x轴于点Q，M为l上一点，且

PQ

=

2

MQ

，当点P在圆上运动时，记点M的轨迹为曲线P．
（1）求曲线P的方程；
（2）某同学研究发现：若把三角形的直角顶点放置在圆O的圆周上，使其一条直角边过点F（1，0），则三角板的另一条直角边所在直线与曲线P有且只有一个公共点．你认为该同学的结论是否正确？若正确，请证明；若不正确，说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）设M（x，y），P（x₀，y₀），x_P=x.yP=

2

y，由已知得x2+(

2

y)2=2，由此能求出曲线P的方程．（2）设三角板的直角顶点放置在圆O的圆周上的点N（a，b）处，则a²+b²=2，又设三角板的另一版权法直角边所在直线为l′，由此根据a的取值范围进行分类讨论，能求出l′与曲线P有且只有一个公共点，该同学的结论正确．

解答： 解：（1）设M（x，y），P（x₀，y₀），
∵PQ⊥x轴于点Q，M为直线l上一点，且PQ=

2

MQ，
∴x_P=x.yP=

2

y，
∵点P在圆O：x²+y²=2上，∴xP2+yp2=2，
∴x2+(

2

y)2=2，整理，得

x2

2

+y2=1，
∴曲线P的方程为

x2

2

+y²=1．
（2）设三角板的直角顶点放置在圆O的圆周上的点N（a，b）处，
则a²+b²=2，
又设三角板的另一版权法直角边所在直线为l′，
（i）当a=1时，直线NF⊥x轴，l′：y=±1，
由题意知l′与曲线P有且只有一个公共点．
（ii）当a≠1时，则kNP=

b

a-1

，
若b=0，则直线l′：x=±

2

，由题意知l′与曲线P有且只有一个公共点，
若b≠0，则直线l′的斜率k=

1-a

b

，
∴l′：y-b=

1-a

b

（x-a），即y=

1-a

b

x+

2-a

b

，
由

x2 2 +y2=1 y= 1-a b x+ 2-a b

，得[b²+2（1-a²）]x²+4（1-a）（2-a）x+2[（2-a²）-b²]=0，（*）
又b²=2-a²，
∴方程（*）可化为（a-2）²x²+4（1-a）（2-a）x+4（a-1）²=0，
∴△=[4（1-a）（1-2a）]²-16（a-2）²（a-1）²=0，
∴l′与曲线P有且只有一个公共点
综上所述，该同学的结论正确．

点评：本题考查圆的方程与性质、椭圆的标准方程与性质、直线与圆锥曲线的关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想、特殊与一般思想．