Question

11．已知数列{a_n}满足a₁=1，a₂=2，a_n+2=$\frac{3}{2}$a_n+1-$\frac{1}{2}$a_n．
（1）令b_n=a_n+1-a_n，求证：{b_n}为等比数列；
（2）求{a_n}的通项公式；
（3）求数列{a_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （1）由条件可得a_n+2-a_n+1=$\frac{1}{2}$（a_n+1-a_n），即为b_n+1=$\frac{1}{2}$b_n，运用等比数列的定义即可得证；
（2）运用等比数列的通项公式可得a_n+1-a_n=（$\frac{1}{2}$）^n-1，再由累加法和等比数列的求和公式，计算即可得到所求；
（3）运用数列的求和方法：分组求和，结合等比数列的求和公式化简整理即可得到所求和．

解答 解：（1）证明：a_n+2=$\frac{3}{2}$a_n+1-$\frac{1}{2}$a_n，可得
a_n+2-a_n+1=$\frac{1}{2}$（a_n+1-a_n），
即为b_n+1=$\frac{1}{2}$b_n，
则{b_n}为首项为a₂-a₁=1，公比为$\frac{1}{2}$的等比数列；
（2）由（1）可得b_n=（$\frac{1}{2}$）^n-1，
即为a_n+1-a_n=（$\frac{1}{2}$）^n-1，
由a₂-a₁=1，a₃-a₂=$\frac{1}{2}$，…，a_n-a_n-1=（$\frac{1}{2}$）^n-2，
累加可得a_n=1+1+$\frac{1}{2}$+…+（$\frac{1}{2}$）^n-2
=1+$\frac{1-（\frac{1}{2}）^{n-1}}{1-\frac{1}{2}}$=3-（$\frac{1}{2}$）^n-2；
（3）前n项和S_n=3n-[2+1+$\frac{1}{2}$+…+（$\frac{1}{2}$）^n-2]
=3n-$\frac{2（1-\frac{1}{{2}^{n}}）}{1-\frac{1}{2}}$=3n-4+（$\frac{1}{2}$）^n-2．

点评 本题考查等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查构造数列，以及累加法求通项的方法和分组求和方法，考查化简整理的运算能力，属于中档题．