Question

8．某化工厂拟建一个下部为圆柱，上部为半球的容器（如图，圆柱高为h，半径为r，不计厚度，单位：米），按计划容积为72π立方米，且h≥2r，假设其建造费用仅与表面积有关（圆柱底部不计），已知圆柱部分每平方米的费用为2千元，半球部分每平方米4千元，设该容器的建造费用为y千元．
（Ⅰ）求y关于r的函数关系，并求其定义域；
（Ⅱ）求建造费用最小时的r．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用容积为72π立方米，列出$72π=\frac{{2π{r^3}}}{3}=π{r^2}h$，得到$h=\frac{72}{r^2}-\frac{2r}{3}≥2r$，然后求解建造费用的函数解析式．
（Ⅱ）利用导函数，判断单调性求解最值即可．

解答 （本小题满分12分）
解：（Ⅰ）由容积为72π立方米，得$72π=\frac{{2π{r^3}}}{3}=π{r^2}h$．…（2分）
$h=\frac{72}{r^2}-\frac{2r}{3}≥2r$，解得0＜r≤3，…（4分）
又圆柱的侧面积为$2πrh=2πr（{\frac{72}{r^2}-\frac{2r}{3}}）$，
半球的表面积为2πr²，
所以建造费用$y=\frac{288π}{r}+\frac{{16π{r^2}}}{3}$，定义域为（0，3]．…（6分）
（Ⅱ）$y'=16π（{\frac{18}{r}+\frac{r^2}{3}}）'=32π\frac{{（{r^3}-27）}}{{3{r^2}}}$，…（8分）
又0＜r≤3，所以y'≤0，所以建造费用$y=\frac{288π}{r}+\frac{{16π{r^2}}}{3}$，
在定义域（0，3]上单调递减，所以当r=3时建造费用最小．…（12分）

点评 本题考查函数的导数的应用，函数的最值的求法，实际问题的处理方法，考查转化思想以及计算能力．