题目内容
已知二次函数f（x）=ax2+bx，且f（x+1）为偶函数，定义：满足f（x）=x的实数x称为函数f（x）的“不动点”，若函数f（x）有且仅有一个不动点，（1）求f（x）的解析式；
（2）若函数g（x）=f（x）+
| k |
| x |
| 1 |
| 2 |
| ||
| 3 |
（3）在（2）的条件下，是否存在区间[m，n]（m＜n），使得f（x）在区间[m，n]上的值域为[km，kn]？若存在，请求出区间[m，n]；若不存在，请说明理由．
分析：（1）先根据f（x+1）=a（x+1）2+b（x+1）=ax2+（2a+b）x+a+b为偶函数，得出a，b的一个关系式，再由函数f（x）有且仅有一个不动点，转化为方程f（x）=x有且仅有一个解，即可求得a值，从而写出f（x）的解析式；
（2）由于g（x）=f（x）+
+
x2=x+
在（0，
]上是单调减函数，分类讨论：当k≤0时，当k＞0时，利用函数的单调性即可求得实数k的取值范围；
（3）先利用二次函数的性质得到：f（x）在区间[m，n]上是单调增函数，列出关于m，n的方程式：
，此式说明方程-
x2+x=kx的两根为0，2-2k结合方程思想即可解决．
（2）由于g（x）=f（x）+
| k |
| x |
| 1 |
| 2 |
| k |
| x |
| ||
| 3 |
（3）先利用二次函数的性质得到：f（x）在区间[m，n]上是单调增函数，列出关于m，n的方程式：
|
| 1 |
| 2 |
解答：解：（1）f（x+1）=a（x+1）2+b（x+1）=ax2+（2a+b）x+a+b为偶函数，
∴2a+b=0，∴b=-2a，
∴f（x）=ax2-2ax，（2分）
∵函数f（x）有且仅有一个不动点，
∴方程f（x）=x有且仅有一个解，
∴ax2-（2a+1）x=0有且仅有一个解，
∴2a+1=0，a=-
，
∴f（x）=-
x2+x（5分）
（2）g（x）=f（x）+
+
x2=x+
在（0，
]上是单调减函数，
当k≤0时，g（x）=x+
在（0，+∞）上是单调增函数，
∴不成立；（7分）
当k＞0时，g（x）=x+
在（0，
]上是单调减函数，
∴
≤
，
∴k≥
（10分）
（3）∵f（x）=-
x2+x=-
（x-1）2+
≤
，
∴kn≤
，
∴n≤
≤
＜1，
∴f（x）在区间[m，n]上是单调增函数（11分）
∴
，即
，
方程-
x2+x=kx的两根为0，2-2k（12分）
当2-2k＞0，即
≤k＜1时，[m，n]=[0，2-2k]（13分）
当2-2k＜0，即k＞1时，[m，n]=[2-2k，0]（14分）
当2-2k=0，即k=1时，[m，n]不存在（16分）
∴2a+b=0，∴b=-2a，
∴f（x）=ax2-2ax，（2分）
∵函数f（x）有且仅有一个不动点，
∴方程f（x）=x有且仅有一个解，
∴ax2-（2a+1）x=0有且仅有一个解，
∴2a+1=0，a=-
| 1 |
| 2 |
∴f（x）=-
| 1 |
| 2 |
（2）g（x）=f（x）+
| k |
| x |
| 1 |
| 2 |
| k |
| x |
| ||
| 3 |
当k≤0时，g（x）=x+
| k |
| x |
∴不成立；（7分）
当k＞0时，g（x）=x+
| k |
| x |
| k |
∴
| ||
| 3 |
| k |
∴k≥
| 2 |
| 3 |
（3）∵f（x）=-
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
∴kn≤
| 1 |
| 2 |
∴n≤
| 1 |
| 2k |
| 3 |
| 4 |
∴f（x）在区间[m，n]上是单调增函数（11分）
∴
|
|
方程-
| 1 |
| 2 |
当2-2k＞0，即
| 2 |
| 3 |
当2-2k＜0，即k＞1时，[m，n]=[2-2k，0]（14分）
当2-2k=0，即k=1时，[m，n]不存在（16分）
点评：本小题主要考查函数解析式的求解及常用方法、函数单调性的性质、函数的值域等基础知识，考查运算求解能力与转化思想．属于基础题．
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