题目内容

已知二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的图象过点(0,1),且与x轴有唯一的交点(-1,0).
(Ⅰ)求f(x)的表达式;
(Ⅱ)设函数F(x)=f(x)-kx,x∈[-2,2],记此函数的最小值为g(k),求g(k)的解析式.
分析:(Ⅰ)依题意得c=1,-
b
2a
=-1
,b2-4ac=0,由此能求出f(x).
(Ⅱ)F(x)=x2+(2-k)x+1,对称轴为x=
k-2
2
,图象开口向上当
k-2
2
≤-2
时,F(x)在[-2,2]上单调递增,此时函数F(x)的最小值g(k)=F(-2)=2k+1,当-2<
k-2
2
≤2
时,F(x)在[-2,
k-2
2
]
上递减,在[
k-2
2
,2]
上递增此时函数F(x)的最小值g(k)=F(
k-2
2
)=-
k_-4k
4
;当
k-2
2
>2
即k>6时,F(x)在[-2,2]上单调递减,此时函数F(x)的最小值g(k)=F(2)=9-2k.由此能求出结果.
解答:解:(Ⅰ)∵二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的图象过点(0,1),
且与x轴有唯一的交点(-1,0).
∴c=1,-
b
2a
=-1
,b2-4ac=0
解得a=1,b=2,c=1,
从而f(x)=x2+2x+1;
(Ⅱ)F(x)=x2+(2-k)x+1,对称轴为x=
k-2
2
,图象开口向上
k-2
2
≤-2
即k≤-2时,F(x)在[-2,2]上单调递增,
此时函数F(x)的最小值g(k)=F(-2)=2k+1
-2<
k-2
2
≤2
即-2<k≤6时,F(x)在[-2,
k-2
2
]
上递减,在[
k-2
2
,2]
上递增
此时函数F(x)的最小值g(k)=F(
k-2
2
)=-
k2-4k
4

k-2
2
>2
即k>6时,F(x)在[-2,2]上单调递减,
此时函数F(x)的最小值g(k)=F(2)=9-2k;
综上,函数F(x)的最小值g(k)=
2k+1,k≤-2
-
k2-4k
4
,-2<k≤6
9-2k,k>6
点评:本题考查二次函数的性质和综合运用,是基础题.解题时要认真审题,仔细解答,注意合理地进行等价转化.
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