题目内容
已知二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的图象过点(0,1),且与x轴有唯一的交点(-1,0).
(Ⅰ)求f(x)的表达式;
(Ⅱ)设函数F(x)=f(x)-kx,x∈[-2,2],记此函数的最小值为g(k),求g(k)的解析式.
(Ⅰ)求f(x)的表达式;
(Ⅱ)设函数F(x)=f(x)-kx,x∈[-2,2],记此函数的最小值为g(k),求g(k)的解析式.
分析:(Ⅰ)依题意得c=1,-
=-1,b2-4ac=0,由此能求出f(x).
(Ⅱ)F(x)=x2+(2-k)x+1,对称轴为x=
,图象开口向上当
≤-2时,F(x)在[-2,2]上单调递增,此时函数F(x)的最小值g(k)=F(-2)=2k+1,当-2<
≤2时,F(x)在[-2,
]上递减,在[
,2]上递增此时函数F(x)的最小值g(k)=F(
)=-
;当
>2即k>6时,F(x)在[-2,2]上单调递减,此时函数F(x)的最小值g(k)=F(2)=9-2k.由此能求出结果.
b |
2a |
(Ⅱ)F(x)=x2+(2-k)x+1,对称轴为x=
k-2 |
2 |
k-2 |
2 |
k-2 |
2 |
k-2 |
2 |
k-2 |
2 |
k-2 |
2 |
k_-4k |
4 |
k-2 |
2 |
解答:解:(Ⅰ)∵二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的图象过点(0,1),
且与x轴有唯一的交点(-1,0).
∴c=1,-
=-1,b2-4ac=0
解得a=1,b=2,c=1,
从而f(x)=x2+2x+1;
(Ⅱ)F(x)=x2+(2-k)x+1,对称轴为x=
,图象开口向上
当
≤-2即k≤-2时,F(x)在[-2,2]上单调递增,
此时函数F(x)的最小值g(k)=F(-2)=2k+1
当-2<
≤2即-2<k≤6时,F(x)在[-2,
]上递减,在[
,2]上递增
此时函数F(x)的最小值g(k)=F(
)=-
;
当
>2即k>6时,F(x)在[-2,2]上单调递减,
此时函数F(x)的最小值g(k)=F(2)=9-2k;
综上,函数F(x)的最小值g(k)=
.
且与x轴有唯一的交点(-1,0).
∴c=1,-
b |
2a |
解得a=1,b=2,c=1,
从而f(x)=x2+2x+1;
(Ⅱ)F(x)=x2+(2-k)x+1,对称轴为x=
k-2 |
2 |
当
k-2 |
2 |
此时函数F(x)的最小值g(k)=F(-2)=2k+1
当-2<
k-2 |
2 |
k-2 |
2 |
k-2 |
2 |
此时函数F(x)的最小值g(k)=F(
k-2 |
2 |
k2-4k |
4 |
当
k-2 |
2 |
此时函数F(x)的最小值g(k)=F(2)=9-2k;
综上,函数F(x)的最小值g(k)=
|
点评:本题考查二次函数的性质和综合运用,是基础题.解题时要认真审题,仔细解答,注意合理地进行等价转化.
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