Question

16．在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，求下列异面直线所成角的大小
（1）A₁C₁与BD所成角的大小
（2）BC₁与AD所成角的大小
（3）BC₁与CD₁所成角的大小
（4）BC₁与DD₁所成角的大小．

Answer 1

分析 （1）由A₁C₁∥AC，AC⊥BD，能求出A₁C₁与BD所成角．
（2）由AD∥BC，得∠C₁BC是BC₁与AD所成角，由此能求出BC₁与AD所成角．
（3）由CD₁∥BA₁，知∠A₁BC₁是BC₁与CD₁所成角，由此能求出BC₁与CD₁所成角．
（4）由DD₁∥CC₁，得∠BC₁C是BC₁与DD₁所成角，由此能出BC₁与DD₁所成角．

解答 解：（1）∵A₁C₁∥AC，AC⊥BD
∴A₁C₁与BD所成角为90°．
（2）∵AD∥BC，∴∠C₁BC是BC₁与AD所成角，
∵CC₁⊥BC，CC₁=BC，
∴∠C₁BC=45°，
∴BC₁与AD所成角为45°．
（3）∵CD₁∥BA₁，∴∠A₁BC₁是BC₁与CD₁所成角，
∵A₁B=BC₁=A₁C₁，∴∠A₁BC₁=60°，
∴BC₁与CD₁所成角为60°．
（4）∵DD₁∥CC₁，∴∠BC₁C是BC₁与DD₁所成角，
∵CC₁⊥BC，CC₁=BC，
∴∠BC₁C=45°，
∴BC₁与DD₁所成角为45°．

点评 本题考查异面直线所成角的大小的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．