Question

3．已知正三棱锥S-ABC底面边长为2$\sqrt{3}$，过侧棱SA与底面中心O作截面SAD，在△SAD中，若SA=AD，求侧面与底面所成二面角的余弦值．

Answer 1

分析 推导出AD⊥BC，SD⊥BC，从而∠SDO是侧面与底面所成二面角，由此能求出侧面与底面所成二面角的余弦值．

解答 解：∵正三棱锥S-ABC底面边长为2$\sqrt{3}$，
过侧棱SA与底面中心O作截面SAD，在△SAD中，SA=AD，
∴SO⊥底面ABC，D是BC中点，
∴AD⊥BC，SD⊥BC，∴∠SDO是侧面与底面所成二面角，
∵SA=AD=$\sqrt{（2\sqrt{3}）^{2}-（\sqrt{3}）^{2}}$=3，OD=$\frac{1}{3}AD=1$，
SD=$\sqrt{S{B}^{2}-B{D}^{2}}$=$\sqrt{9-3}$=$\sqrt{6}$，
∴cos∠SDO=$\frac{OD}{SD}$=$\frac{1}{\sqrt{6}}$=$\frac{\sqrt{6}}{6}$．
∴侧面与底面所成二面角的余弦值为$\frac{\sqrt{6}}{6}$．

点评 本题考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．