Question

已知，，
（1）当时，求的单调区间
（2）若在上是递减的，求实数的取值范围； 
（3）是否存在实数，使的极大值为3？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）单调递增区间为，单调递减区间为，；（2）；（3）不存在实数，使的极大值为3．

试题分析：（1）先由得到h(x)的具体解析表达式，求出其导函数，通过解不等式得到其增区间，解不等式得到其减区间；
（2）在上是递减的等价于在上恒成立，从而通过分离参数转化为恒成立，从而获得实数的取值范围；
（3）先利用导数方法将的极大值用a的代数式表达出来，得到的极大值在处取到，即，令其等于3显然不好判断是否有解，我们可以再利用导数的方法判断出在上单调递增，从而可知所求实数a不存在．
试题解析：(1) 当时，，则
令，解得；令，解得或
所以的单调递增区间为，单调递减区间为，
（2）由在上是递减的，得在上恒成立，
即在上恒成立，解得，又因为，
所以实数的取值范围为 
（3），令，解得或

由表可知，的极大值在处取到，即，
设，则，所以在上单调递增
，所以不存在实数，使的极大值为3