Question

已知函数f(x)=ln(x+1)+ax²-x，a∈R．
（1）当时，求函数y=f(x)的极值；
（2）是否存在实数b∈(0,1)，使得当x∈(-1,b]时，函数f(x)的最大值为f(b)？若存在，求实数a的取值范围，若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）在x=1处取到极小值为，在x=0处取到极大值为0；（2）．

试题分析：（1）将代入函数f(x)解析式，求出函数f(x)的导函数，令导函数等于零，求出其根；然后列出x的取值范围与的符号及f(x)的单调性情况表，从表就可得到函数f(x）的极值；（2）由题意首先求得：，故应按分类讨论：当a≤0时，易知函数f(x)在(-1,0)上单调递增，在(0,+∞)上单调递减,从而当b∈(0,1)时f(b)<f(0)，所以不存在实数b∈(0,1)，符合题意；当a>0时，令有x=0或，又要按根大于零，小于零和等于零分类讨论；对各种情况求函数f(x）x∈(-1,b]的最大值，使其最大值恰为f(b)，分别求得a的取值范围，然而将所得范围求并即得所求的范围；若求得的a的取值范围为空则不存在，否则存在．
试题解析：（1）当时，，
则，化简得（x>-1）     2分   
列表如下：

x	(-1,0)	0	(0,1)	1	(1,+)
	+	0	-	0	+
f(x)	增	极大值	减	极小值	增

 
∴函数f(x)在(-1,0)，(1,+∞)上单调递增，在(0,1)上单调递减，且f(0)=0，， 4分
∴函数y=f(x)在x=1处取到极小值为，
在x=0处取到极大值为0；      5分
（2）由题意
（1）当a≤0时，函数f(x)在(-1,0)上单调递增，在(0,+∞)上单调递减,
此时，不存在实数b∈(0,1)，使得当x∈(-1,b]时，函数f(x)的最大值为f(b)；      7分
（2）当a>0时，令有x=0或，
(ⅰ)当即时，函数f(x)在和(0,+∞)上单调递增，在上单调递减，要存在实数b∈(0,1)，使得当x∈(-1,b]时，函数f(x)的最大值为f(b)，则，代入化简得 （1）
令，因恒成立，
故恒有，∴时，（1）式恒成立；    10分
（ⅱ）当即时，函数f(x)在和上单调递增，在上单调递减，此时由题，只需，解得，又，
∴此时实数a的取值范围是；      12分
（ⅲ）当时，函数f(x)在上单调递增，
显然符合题意；      13分
综上，实数a的取值范围是．           14分