Question

14．（1）已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且长轴长是短轴长的3倍，并且经过点P（3，0），求椭圆方程；
（2）与双曲线x²-2y²=2有公共渐近线，且过点M（2，-2），求此双曲线的标准方程．

Answer 1

分析 （1）根据长轴是短轴的3倍，设出短轴2b，表示出长轴6b，然后分焦点在x轴上和y轴上两种情况写出椭圆的标准方程，把P的坐标分别代入椭圆方程即可求出相应b的值，然后分别写出椭圆的标准方程即可；
（2）先设出双曲线的方程，利用已知双曲线的渐近线求得a和b的关系，然后把点（2，-2）代入双曲线方程求得a，进而求得b，则双曲线的方程可得．

解答 解：（1）设椭圆的短轴为2b（b＞0），长轴为2a=6b，
所以椭圆的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{9{b}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$或$\frac{{y}^{2}}{9{b}^{2}}+\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}}=1$，
把P（3，0）代入椭圆方程分别得：$\frac{9}{9{b}^{2}}$=1或$\frac{9}{{b}^{2}}$=1，
解得b=1或b=3
所以椭圆的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{9{\;}^{\;}}+{y}^{2}=1$或$\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{81}=1$；
（2）依题意可在知双曲线的焦点在y轴，
设出双曲线的方程为$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}}=1$，
根据已知曲线方程可知其渐近线方程为y=±$\frac{\sqrt{2}}{2}$x
∴$\frac{a}{b}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\sqrt{2}$a=b
把点（2．-2）代入得：$\frac{4}{{a}^{2}}-\frac{4}{{2a}^{2}}=1$中求得b=2，a=$\sqrt{2}$，
∴双曲线的方程为：$\frac{{y}^{2}}{2}-\frac{{x}^{2}}{4}=1$

点评 此题考查学生会利用待定系数法求椭圆的标准方程，双曲线的标准方程．考查考生分析推理和基本的运算能力．