题目内容

3．已知f（x）=-$\frac{1}{3}$x3+2x2+2x，若存在满足-1≤x0≤3的实数x0，使得曲线y=f（x）在点（x0，f（x0））处的切线与直线x+my-10=0垂直，则实数m的取值范围是（　　）
A．[6，+∞）B．[-∞，2]C．[-3，6]D．[5，6]

分析 求出函数的导数，求出切线的斜率，再由两直线垂直斜率之积为-1，得到4x0-x02+2=m，再由二次函数求出最值即可．

解答 解：函数f（x）=-$\frac{1}{3}$x3+2x2+2x的导数为f′（x）=-x2+4x+2．
曲线f（x）在点（x0，f（x0））处的切线斜率为4x0-x02+2，
由于切线垂直于直线x+my-10=0，则有4x0-x02+2=m，
由于-1≤x0≤3，由4x0-x02+2=-（x0-2）2+6，
对称轴为x0=2，
当且仅当x0=2，取得最大值6；
当x0=-1时，取得最小值-3．
故m的取值范围是[-3，6]．
故选：C．

点评 本题考查导数的几何意义：曲线在某点处的切线的斜率，考查两直线垂直的条件和二次函数最值的求法，属于中档题．

练习册系列答案
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