Question

5．已知函数$f（x）={log_a}\frac{x-1}{x+1}$（其中a＞0且a≠1）．
（1）讨论函数f（x）的奇偶性；
（2）已知关于x的方程${log_a}\frac{m}{（x+1）（7-x）}=f（x）$在区间[2，6]上有实数解，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求定义域可知关于原点对称，计算可得f（-x）=-f（x），可得奇函数；
（2）由题意问题转化为求函数m=（x-1）（7-x）在x∈[2，6]上的值域，由二次函数区间的值域可得．

解答 解：（1）由对数有意义可得$\frac{x-1}{x+1}$＞0，解得x＜-1或x＞1，
∴$f（x）={log_a}\frac{x-1}{x+1}$的定义域为（-∞，-1）∪（1，+∞），
关于原点对称，又$f（-x）={log_a}\frac{-x-1}{-x+1}={log_a}\frac{x+1}{x-1}$，
∴f（-x）=-f（x），∴函数f（x）为奇函数；
（2）由题意可得$\left\{\begin{array}{l}\frac{m}{（x+1）（7-x）}＞0\\ \frac{x-1}{x+1}＞0\\ \frac{m}{（x+1）（7-x）}=\frac{x-1}{x+1}\end{array}\right.$，
问题转化为求函数m=（x-1）（7-x）在x∈[2，6]上的值域，
该函数在[2，4]上递增，在[4，6]上递减，
∴当x=2或6时，m取最小值5，∴当x=4时，m取最大值9，
∴m的取值范围为[5，9]．

点评 本题考查函数的零点和方程的根的关系，涉及函数单调性的判定，属中档题．