Question

定义：在平面直角坐标系中，以原点为圆心，以

a2+b2

为半径的圆O为椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的“准圆”．已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1的离心率为

3

3

，直线l：2x-y+5=0与椭圆C的“准圆”相切．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设点P是椭圆C的“准圆”上的一个动点，过动点P作斜率存在且不为0的两条不同的直线l₁，l₂，使得l₁，l₂与椭圆都相切，试判断l₁与l₂是否垂直？并说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）由于直线l：2x-y+5=0与椭圆C的“准圆”相切，利用点到直线的距离公式可得

a2+b2

=

5

，化为a²+b²=5，结合离心率为

3

3

，解得即可；
（2）设经过点P（x₀，y₀）与椭圆C相切的直线为y=k（x-x₀）+y₀，与椭圆方程联立，可得直线l₁，l₂的斜率k₁，k₂满足方程(x02-3)k2-2x0y0k-(x02-3)=0，利用k₁•k₂=-1，可得直线l₁与l₂垂直．

解答： 解：（1）∵直线l：2x-y+5=0与椭圆C的“准圆”相切，
∴

a2+b2

=

5

，化为a²+b²=5，
∵e=

c

a

=

3

3

，解得a²=3，b²=2，c=1．
∴椭圆C的方程为

x2

3

+

y2

2

=1；（6分）
（2）由（1）知椭圆C的“准圆”方程为x²+y²=5
设点P（x₀，y₀），则x02+y02=5（7分）
设经过点P（x₀，y₀）与椭圆C相切的直线为y=k（x-x₀）+y₀
联立

y=k(x-x0)+y0 x2 3 + y2 2 =1

消去y，得(2+3k2)x2-6k(kx0-y0)x+3(kx0-y0)2-6=0
由△=0，化简得(x02-3)k2-2x0y0k-(x02-3)=0（10分）
设直线l₁，l₂的斜率分别为k₁，k₂．
∵直线l₁，l₂与椭圆C相切，
∴k₁，k₂满足方程(x02-3)k2-2x0y0k-(x02-3)=0，
∴k₁•k₂=-1，故直线l₁与l₂垂直                                      （13分）

点评：本题综合考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到根与系数的关系、直线与圆相切问题、勾股定理、向量垂直与数量积的关系等基础知识与基本技能方法，属于难题．