Question

已知实数x，y满足

y≥0 y-x+1≤0 y-2x+4≥0

，若z=y-ax取得最大值时的唯一最优解是（3，2），则实数a的取值范围为（　　）

• A、a＜1
• B、a＜2
• C、a＞1
• D、0＜a＜1

Answer 1

考点：简单线性规划

专题：不等式的解法及应用

分析：作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用目标函数z=y-ax（a∈R）当且仅当x=3，y=2时取最大值，得到直线y=ax+z斜率的变化，从而求出a的取值范围．

解答： 解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分ABC）．
则A（3，2），B（1，0），C（2，0）
由z=y-ax得y=ax+z，即直线的截距最大，z也最大．
平移直线y=ax+z，则直线的截距最大时，z也最大，
当a＜0时，直线y=ax+z，在A（3，2）处的截距最大，此时满足条件，
当a=0时，y=z在A（3，2）处的截距最大，此时满足条件，
当a＞0时，要使直线y=ax+z，在A（3，2）处的截距最大
则目标函数的斜率a小于直线AB的斜率1，
即0＜a＜1，
综上a＜1，
故选：A

点评：本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．