Question

【题目】如图，在四棱锥中，平面平面，，，，点为上一点且＝＝＝．

（1）求证：平面平面；

（2）若直线与平面所成的角的正弦值为，求二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）．

【解析】

（1）由平面平面可得平面，从而可得，分别以、、为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，计算可得，从而可证平面，即得所要证明的面面垂直.

（2）设，可由直线与平面所成的角的正弦值为得到，再求出平面的一个法向量后利用数量积可求法向量的夹角的余弦值，从而得到二面角的余弦值.

（1）证明：∵平面平面，平面平面＝，

，平面，∴平面，

因为平面，故.又．

分别以、、为轴、轴、轴，

建立空间直角坐标系，不妨设，

可得，

设，

∴，，．

由，，

∴且，

∵、是平面内的相交直线，∴平面．

∵平面，∴平面平面.

（2）由（1）得平面的一个法向量是，．

设直线与平面所成的角为，

则＝，

解得．∵，∴，可得的坐标为．

设平面的一个法向量为，

，，

由，令＝，得．

∴．

由图形可得二面角的平面角是锐角，

∴ 二面角的平面角的余弦值为．