Question

【题目】已知椭圆的右焦点为，右准线为.点是椭圆上异于长轴端点的任意一点，连接并延长交椭圆于点，线段的中点为，为坐标原点，且直线与右准线交于点.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）若，求点的坐标；

（3）试确定直线与椭圆的公共点的个数，并说明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）或；（3）直线与椭圆有且仅有一个公共点，答案见解析.

【解析】

（1）由焦点坐标和准线方程及求出椭圆的方程；
（2）设,设过右焦点的直线的方程与椭圆联立求出两根之和及两根之积，由题意求的坐标，再由得到关系，再由进而求出的坐标；
（3）设出的坐标，由（2）可得直线的方程为，所以点坐标为，可得直线的方程，再与椭圆联立，判别式等于0，即得，求出直线与椭圆仅有一个交点．

解：（1）由题意可知，解得，，

所以椭圆的标准方程为：

（2）设，

当时，点坐标为（3，0），点坐标为（4，0），.

当时，直线的方程为，代入椭圆方程，消去整理得

，

所以中点的横坐标，

纵坐标.

因为，所以，

所以，

又，得，解得，或，

故点的坐标为或.

（3）直线与椭圆有且仅有一个公共点，以下给出证明：

因为直线的方程为，所以点坐标为，

所以直线的斜率，

直线的方程为，即，

代入椭圆方程，得，

即，得，解得，

故直线与椭圆有且仅有一个公共点.