Question

【题目】如图，四棱锥的底面是矩形，平面平面，，且，点为中点.

（1）证明：平面平面；

（2）直线和平面所成的角为，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】

（1）可证平面，从而得到平面平面.

（2）设为中点，连结，，可以证明、、，建立如图所示的空间直角坐标系后可求给定的二面角的余弦值.

解：（1）∵平面平面，平面平面，

平面，，

∴平面，∵平面，∴

又∴，∴，∴平面，

∵平面，∴平面平面.

（2）设为中点，连结，，

又，故且，.

∵平面平面，平面平面，

平面，∴平面.

∵平面，∴，

又为矩形的对边的中点，故.

以为坐标原点，分别以为轴正方向建立空间直角坐标系，

则， .

设，其中，则.

又平面的法向量为，

所以，故，所以，

所以，.

故，，，

设平面的法向量为

故即，

令，∴.

设平面的法向量为

故即，

令，∴，

∴，

因为二面角为锐角，故其余弦值为.