题目内容
已知：
+
=
，求证：
+
=
．
| sin4θ |
| a |
| cos4θ |
| b |
| 1 |
| a+b |
| sin8θ |
| a3 |
| cos8θ |
| b3 |
| 1 |
| (a+b)3 |
考点：三角函数恒等式的证明
专题：证明题,三角函数的求值
分析：运用基本不等式可得，
+
≥2
，①
+
≥2
，②两式相加结合同角的平方关系，再由等号成立的条件可得sin2θ=
，cos2θ=
，将其代入要证的等式的左边，即可得证．
| sin4θ |
| a |
| a |
| (a+b)2 |
| sin2θ |
| a+b |
| cos4θ |
| b |
| b |
| (a+b)2 |
| cos2θ |
| a+b |
| a |
| a+b |
| b |
| a+b |
解答：
证明：由于a＞0，b＞0，
+
≥2
，①
+
≥2
，②
将①②两式相加并整理得，
+
+
≥
即为
+
≥
，③
由题设知，这三个不等式应同时取等号，
即有sin2θ=
，cos2θ=
，
则
+
=
+
=
+
=
=
．
则
+
=
．
| sin4θ |
| a |
| a |
| (a+b)2 |
| sin2θ |
| a+b |
| cos4θ |
| b |
| b |
| (a+b)2 |
| cos2θ |
| a+b |
将①②两式相加并整理得，
| sin4θ |
| a |
| cos4θ |
| b |
| a+b |
| (a+b)2 |
| 2 |
| a+b |
即为
| sin4θ |
| a |
| cos4θ |
| b |
| 1 |
| a+b |
由题设知，这三个不等式应同时取等号，
即有sin2θ=
| a |
| a+b |
| b |
| a+b |
则
| sin8θ |
| a3 |
| cos8θ |
| b3 |
| ||
| a3 |
| ||
| b3 |
=
| a |
| (a+b)4 |
| b |
| (a+b)4 |
| a+b |
| (a+b)4 |
=
| 1 |
| (a+b)3 |
则
| sin8θ |
| a3 |
| cos8θ |
| b3 |
| 1 |
| (a+b)3 |
点评：本题考查三角函数恒等式的证明，考查基本不等式的运用，考查同角的平方关系的运用，属于中档题．
练习册系列答案
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