Question

如图，已知位于y轴左侧的圆C与y轴相切于点（0,1）且被x轴分成的两段圆弧长之比为1:2，过点H（0，t）的直线于圆C相交于M、N两点，且以MN为直径的圆恰好经过坐标原点O。
（1）  求圆C的方程；
（2）  当t=1时，求出直线的方程；
（3）  求直线OM的斜率k的取值范围。

Answer 1

解 （1）因为位于轴左侧的圆与轴相切于点，所以圆心在直线上，
设圆与轴的交点分别为、，
由圆被轴分成的两段弧长之比为，得，
所以，圆心的坐标为，
所以圆的方程为：．           …………………4分

（2）当时，由题意知直线的斜率存在，设直线方程为，
由得或，
不妨令，
因为以为直径的圆恰好经过，
所以，
解得，所以所求直线方程为或．…………10分
（3）设直线的方程为，
由题意知，，解之得，
同理得，，解之得或． 由（2）知，也满足题意．
所以的取值范围是． …………16分

略