题目内容
【题目】已知
，
，且
，求
.
【答案】
【解析】试题分析：
首先求得cos(α－β)＝
，cosα＝
，sin(α－β)＝
.sinα＝
，由β＝α－(α－β)，得cosβ＝
，∴β＝
.
试题解析：
方法一 由0＜β＜α＜
，得0＜α－β＜.
又∵cos(α－β)＝，cosα＝，
∴sin(α－β)＝
＝
＝.
sinα＝
＝
＝，
由β＝α－(α－β)，得cosβ＝cos[α－(α－β)]
＝cosαcos(α－β)＋sinαsin(α－β)
＝×＋×＝，∴β＝.
方法二 由0＜β＜α＜，得0＜α－β＜.
又∵cos(α－β)＝，cosα＝
∴sin(α－β)＝＝＝.
sinα＝＝＝，
由β＝α－(α－β)，得sinβ＝sin[α－(α－β)]
＝sinαcos(α－β)－cosαsin(α－β)
＝×－×＝
，
∴
.
【题目】为研究男女同学空间想象能力的差异，孙老师从高一年级随机选取了20名男生、20名女生，进行空间图形识别测试，得到成绩茎叶图如下，假定成绩大于等于80分的同学为“空间想象能力突出”，低于80分的同学为“空间想象能力正常”.
（1）完成下面
列联表，并判断是否有
的把握认为“空间想象能力突出”与性别有关；
空间想象能力突出 | 空间想象能力正常 | 合计 | |
男生 | |||
女生 | |||
合计 |
（2）从“空间想象能力突出”的同学中随机选取男生2名、女生2名，记其中成绩超过90分的人数为
，求随机变量
的分布列和数学期望.
下面公式及临界值表仅供参考： 
| 0.100 | 0.050 | 0.010 | |
| 2.706 | 3.841 | 6.635 |
【题目】为了普及环保知识，增强环保意识，某校从理科甲班抽取60人，从文科乙班抽取50人参加环保知识测试．
优秀人数 | 非优秀人数 | 总计 | |
甲班 | |||
乙班 | 30 | ||
总计 | 60 |
（Ⅰ）根据题目完成
列联表，并据此判断是否有
的把握认为环保知识成绩优秀与学生的文理分类有关．
（Ⅱ）现已知
， 
， 
三人获得优秀的概率分别为
， 
， 
，设随机变量
表示
， 
， 
三人中获得优秀的人数，求
的分布列及期望
．
附： 
， 
| 0.100 | 0.050 | 0.025 | 0.010 | 0.005 |
| 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 |
【题目】山西某公司有一批专业技术人员，对他们进行年龄状况和接受教育程度（本科学历）的调查，其结果（人数分布）如表：
学历 | 35岁以下 | 35 | 50岁以上 |
本科 | 80 | 30 | 20 |
研究生 |
| 20 |
|
（Ⅰ）用分层抽样的方法在
岁年龄段的专业技术人员中抽取一个容量为10的样本，将该样本看成一个总体，从中任取3人，求至少有1人的学历为研究生的概率；
（Ⅱ）在这个公司的专业技术人员中按年龄状况用分层抽样的方法抽取
个人，其中35岁以下48人，50岁以上10人，再从这个人中随机抽取出1人，此人的年龄为50岁以上的概率为
，求
、
的值．
