题目内容
【题目】如图，在棱长为2的正方体
中， 
， 
， 
， 
分别是棱
， 
， 
， 
的中点，点
， 
分别在棱
， 
上移动，且
.
（1）当
时，证明：直线
平面
；
（2）是否存在
，使面
与面
所成的二面角为直二面角？若存在，求出
的值；若不存在，说明理由.
【答案】（1）见解析；（2）
.
【解析】以
为原点，射线
， 
， 
分别为
， 
， 
轴的正半轴建立如图所示的空间直角坐标系
.由已知得
， 
， 
， 
， 
， 
， 
，则
， 
， 
， 
， 
.
（1）当
时， 
，因为
，所以
，即
，又
平面
，且
平面
，故直线
平面
.
（2）设平面
的一个法向量为
，则
由
，得
，于是可取
.
设平面
的一个法向量为
，由
，得
，于是可取
.
若存在
，使面
与面
所成的二面角为直二面角，则
，即
，解得
，显然满足
.
故存在
，使面
与面
所成的二面角为直二面角.
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