Question

15．求函数y=（$\frac{1}{2}$）${\;}^{-{x}^{2}+2x+3}$的定义域、值域和单调区间．

Answer 1

分析 利用换元法，结合复合函数单调性之间的关系进行求解即可．

解答 解：设u=-x²+2x+3，则y=（$\frac{1}{2}$）^u为减函数，
则函数的定义域为（-∞，+∞），
函数u=-x²+2x+3=-（x-1）²+4≤4，
则（$\frac{1}{2}$）^u≥（$\frac{1}{2}$）⁴=$\frac{1}{16}$，即函数的值域为[$\frac{1}{16}$，+∞），
u=-x²+2x+3=-（x-1）²+4的对称轴为x=1，抛物线开口向下，
当x≤1时，函数u=-x²+2x+3为增函数，则此时函数y=（$\frac{1}{2}$）${\;}^{-{x}^{2}+2x+3}$的单调递减，即函数单调递减区间为（-∞，1]，
当x≥1时，函数u=-x²+2x+3为减函数，则此时函数y=（$\frac{1}{2}$）${\;}^{-{x}^{2}+2x+3}$的单调递增，即函数单调递增区间为[1，+∞）．

点评 本题主要考查函数定义域，值域，单调区间的求解，利用换元法结合复合函数单调性之间的关系是解决本题的关键．