Question

20．判断函数f（x）=$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{1}{1+{x}^{n}}$（x＞0）的间断点，并指明其类型．（提示：分0＜x＜1，x=1，x＞1讨论f（x）的表达式）

Answer 1

分析 根据提示，分0＜x＜1，x=1，x＞1三种情况求出数列极限$\underset{lim}{n→∞}\frac{1}{1+{x}^{n}}$，从而得出f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{1}&{0＜x＜1}\\{\frac{1}{2}}&{x=1}\\{0}&{x＞1}\end{array}\right.$，然后便可求出f（x）在x=1处的左右极限，从而可判断出x=1是f（x）的跳跃间断点．

解答 解：$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{1}&{0＜x＜1}\\{\frac{1}{2}}&{x=1}\\{0}&{x＞1}\end{array}\right.$；
∴$\underset{lim}{x→{1}^{+}}f（x）=0，\underset{lim}{x→{1}^{-}}f（x）=1$；
∴f（x）在x=1处的左右极限存在但不相等；
∴x=1是f（x）的跳跃间断点．

点评 考查数列极限和函数极限的概念和求法，函数间断点的概念及类型．