Question

7．已知函数f（x）=|x-m|（m为常数），且不等式f（x）＜3的解集为（-2，4），
（1）解关于x的不等式f（x）＜a-1（a∈R）；
（2）解不等式f（2x）-f（x+1）＜2．

Answer 1

分析 （1）根据不等式f（x）＜3的解集为（-2，4），求得m=1．在分a-1＞0、a-1≤0两种情况分别求得f（x）＜a-1的解集．
（2）不等式即|2x-1|-|x|＜2，把它等价转化为与之等价的三个不等式组，求出每个不等式组的解集，再取并集，即得所求．

解答 解：（1）f（x）＜3，即|x-m|＜3，即-3＜x-m＜3，即 m-3＜x＜m+3，
再根据不等式f（x）＜3的解集为（-2，4），可得m-3=-2，m+3=4，求得m=1，
∴f（x）=|x-1|．
当a-1＞0时，f（x）＜a-1，即|x-1|＜a-1，即 1-a＜x-1＜a-1，求得它的解集为{x|2-a＜x＜a }．
当a-1≤0时，f（x）＜a-1无解．
（2）不等式f（2x）-f（x+1）＜2，即|2x-m|-|x+1-m|＜2，即|2x-1|-|x|＜2，
故有$\left\{\begin{array}{l}{x＜0}\\{1-2x+x＜2}\end{array}\right.$ ①，或$\left\{\begin{array}{l}{0≤x＜\frac{1}{2}}\\{1-2x-x＜2}\end{array}\right.$②，或 $\left\{\begin{array}{l}{x≥\frac{1}{2}}\\{2x-1-x＜2}\end{array}\right.$③．
解①求得-1＜x＜0，解②求得0≤x＜$\frac{1}{2}$，解③求得 $\frac{1}{2}$≤x＜3．
综上可得，不等式f（2x）-f（x+1）＜2的解集为{x|-1＜x＜3}．

点评 本题主要考查绝对值不等式的解法，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题．