Question

已知数列{a_n}满足a₁=1，

an-1

an

=

an-1+1

1-an

（n≥2，n∈N^*）
（1）求证：数列{

1

an

}是等差数列
（2）求数列{a_na_n+1}的前n项和S_n．

Answer 1

考点：数列的求和,等差关系的确定

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由

an-1

an

=

an-1+1

1-an

，得a_n-1-a_n=2a_na_n-1，两边同时除以a_na_n-1得

1

an

-

1

an-1

=2（n≥2），则数列{

1

an

}是以1为首项，以2为公差的等差数列；
（2）数列{

1

an

}是以1为首项，以2为公差的等差数列求出其通项公式，得到an=

1

2n-1

，代入a_na_n+1后利用裂项相消法求得数列{a_na_n+1}的前n项和S_n．

解答： （1）证明：由

an-1

an

=

an-1+1

1-an

，得a_n-1-a_na_n-1=a_n+a_n-1a_n，
即a_n-1-a_n=2a_na_n-1，∴

1

an

-

1

an-1

=2（n≥2），
∴数列{

1

an

}是以1为首项，以2为公差的等差数列；
（2）解：∵数列{

1

an

}是以1为首项，以2为公差的等差数列，
∴

1

an

=1+2(n-1)=2n-1，则an=

1

2n-1

，
∴a_na_n+1=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)．
∴Sn=

1

2

(1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+

1

5

-

1

7

+…+

1

2n-1

-

1

2n+1

)=

n

2n+1

．

点评：本题考查了等差关系的确定，考查了裂项相消法求数列的前n项和，是中档题．