Question

20．设△ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且S_△ABC=3，0≤$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$≤6，函数f（θ）=2sin²（$\frac{π}{4}$+θ）-$\sqrt{3}$cos2θ．
（1）求角A的取值范围；
（2）求f（A）的值域．

Answer 1

分析 （1）由三角形面积可得$\frac{1}{2}bc•sinA=3$，由0≤$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$≤6，得0≤bccosA≤6，两式联立可得tanA≥1，从而求得A的范围；
（2）把A代入f（θ）=2sin²（$\frac{π}{4}$+θ）-$\sqrt{3}$cos2θ，降幂后利用辅助角公式化简，由A的范围求得f（A）的值域．

解答 解：（1）∵S_△ABC=3，
∴$\frac{1}{2}bc•sinA=3$，即bcsinA=6，则bc=$\frac{6}{sinA}$，①
∵0≤$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$≤6，
∴0≤bccosA≤6，②
把①代入②得：$0≤\frac{cosA}{sinA}≤1$，即tanA≥1，
∴A∈[$\frac{π}{4}，\frac{π}{2}$）．
当A=$\frac{π}{2}$时，①化为bc=6，此时②成立．
∴A∈[$\frac{π}{4}，\frac{π}{2}$]；
（2）f（A）=2sin²（$\frac{π}{4}$+A）-$\sqrt{3}$cos2A=$1-cos（\frac{π}{2}+2A）-\sqrt{3}cos2A$
=1+sin2A-$\sqrt{3}$cos2A=1+2sin（2A-$\frac{π}{3}$）．
∵A∈[$\frac{π}{4}，\frac{π}{2}$]，∴$2A-\frac{π}{3}$∈[$\frac{π}{6}，\frac{2π}{3}$]，
∴sin（2A-$\frac{π}{3}$）∈[$\frac{1}{2}$，1]．
∴f（A）∈[2，3]．

点评 本题考查平面向量的数量积运算，考查三角函数的化简求值，是中档题．