Question

17．一小型机械加工厂生产某种零件的年固定成本为15万元，每生产1千件需另投入1.6万元．设该加工厂一年内生产该种零件x千件并全部销售完，每千件的销售收入为P（x）万元，且P（x）=$\left\{\begin{array}{l}{11.6-\frac{1}{30}{x}^{2}，0＜x≤12}\\{\frac{106}{x}-\frac{250}{{x}^{2}}，x＞12}\end{array}\right.$
（1）写出年利润y（万元）关于年产量x（千件）的函数解析式；
（2）年产量为多少千件时，该工厂在这种零件的生产中所获得的年利润最大．
（注：年利润=年销售收入-年总成本）

Answer 1

分析 （1）根据条件建立函数关系即可写出年利润W（x）（万元）关于年产量x（千件）的函数解析式；
（2）求函数的导数，利用导数判断函数的单调性和最值，即可得到结论．

解答 解：（1）当0＜x≤12时，W（x）=xP（x）-（15+1.6x）=x（11.6-$\frac{{x}^{2}}{30}$）-（15+1.6x）=10x-$\frac{{x}^{3}}{30}$-15．
当x＞12时，W（x）=xP（x）-（15+1.6x）=x（$\frac{106}{x}$-$\frac{250}{{x}^{2}}$）-（15+1.6x）=91-$\frac{250}{x}$-1.6x，
∴W（x）=$\left\{\begin{array}{l}{10x-\frac{{x}^{3}}{30}-15，}&{0＜x≤12}\\{91-\frac{250}{c}-1.6x，}&{x＞12}\end{array}\right.$．
（2）①当0＜x≤12时，由W′（x）=10-$\frac{{x}^{2}}{10}$=0，得x=10，
又当x∈（10，12]时，W′（x）＜0，即W（x）在（10，12]上是减函数，
当x∈（0，10）时，W′（x）＞0，即W（x）在（0，10）上是增函数，
∴当x=10时，W（x）_max=W（10）=100-$\frac{100}{3}$-15=51$\frac{2}{3}$．
②当x＞12，W=91-$\frac{250}{x}$-1.6x=91-（$\frac{250}{x}$+1.6）≤91-2$\sqrt{\frac{250}{x}•1.6x}$=51，
当且仅当$\frac{250}{x}$=1.6x时，即x=$\frac{25}{2}$时，W（x）_max=51，
由①②知，当x=10时，W取最大值51$\frac{2}{3}$万元．

点评 本题主要考查函数的应用问题，利用导数研究函数的单调性，结合函数的最值是解决本题的关键．